En el año de 1963 el meteorólogo del MIT Edward Loretz investiga el porque el clima no puede ser predecible a largo plazo. Loretz planteó un modelo matemático para la simulación por ordenador del tiempo meteorológico. El modelo basado en la convección de fluidos fue simplificado tanto como se pudo, sin perder la esencia de la no linealidad. Fue así como se descubrió una de las propiedades mas importantes de los sistemas caóticos "la sensibilidad a las condiciones iniciales". Al dar a conocer este modelo para predicción del clima su comportamiento fascinó a muchos físicos.
Dentro de la Teoria del Caos, sistema dinámico puede ser:
- Para un economista, la "Bolsa".
- Para un médico, el corazón humano.
- Para un ingeniero, una compleja red de distribución eléctrica.Estos sistemas dinámicos los podemos separar en:
Dentro de la Teoria del Caos, sistema dinámico puede ser:
- Para un economista, la "Bolsa".
- Para un médico, el corazón humano.
- Para un ingeniero, una compleja red de distribución eléctrica.Estos sistemas dinámicos los podemos separar en:
- Estables
- Inestables
- Caóticos
Para su estudio, una manera de visualizar el movimiento o evolución de un sistema dinámico, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.
Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que esta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.
Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión. Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos.
¿Qué es un sistema caótico?
Un sistema caótico se caracteriza en que una mínima diferencia en las condiciones iniciales causan una evolución del sistema totalmente diferente.Los sistemas caóticos están dentro de los sistemas deterministas, sin embargo, al no poder conocer con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (ya que por definición, en cualquier sistema de medición siempre se comete un error) hacen que aunque se conozca el modelo, éste diverga pasado un tiempo.Un sistema de este tipo es impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite saber la configuración en un momento posterior.
Atractores
La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor. La definición matemática puede encontrarse aquí.Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son conceptos muy relacionados con el de atractor:
Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que esta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión. Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos.
¿Qué es un sistema caótico?
Un sistema caótico se caracteriza en que una mínima diferencia en las condiciones iniciales causan una evolución del sistema totalmente diferente.Los sistemas caóticos están dentro de los sistemas deterministas, sin embargo, al no poder conocer con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (ya que por definición, en cualquier sistema de medición siempre se comete un error) hacen que aunque se conozca el modelo, éste diverga pasado un tiempo.Un sistema de este tipo es impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite saber la configuración en un momento posterior.
Atractores
La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor. La definición matemática puede encontrarse aquí.Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son conceptos muy relacionados con el de atractor:
- Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo cuando está sujeto a la legalidad del sistema dinámico. Los atractores pueden converger conjuntos invariantes
- Un conjunto límite es el estado al que llega el sistema después de un tiempo infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que un sistema converja hacia un conjunto límite, pero que, una vez instalado en él, sufra pequeñas perturbaciones que lo alejen definitivamente del conjunto.
De acuerdo a la forma en que las trayectorias en el espacio fase evolucionen los atractores pueden ser clasificados como:
- Estacionario o punto fijo. Es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante en el tiempo.
- Periodicos: Ciclo límite, orbita periódica del sistema que está aislada. Por ejemplo. circuito de sintonía de una radio. Toro limite, una trayectoria periódica puede tener más de una frecuencia, si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional la trayectoria no se cerrará y se formará un toro.
- Cuasi-periódicos
- Extraños.
Atractores extraños
Estos atractores pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar parecida a las alas de una mariposa.Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.
Supresión de caos
Entre los objetivos que se persiguen al tratar de controlar los sistemas tenemos : regulación, seguimiento, acoplamineto y comportamiento asintótico.
En lo que respecta la control del modelo nos interesa:
Ott, Grebogi y Yorke (Método OGY) son los pioneros en el área del control del caos. Su estrategia es estabilizar el sistema usando pequeñas variaciones al parámetro que gobierna el caos para estabilizar la órbita en un punto fijo (quietud), o en una órbita periódica inestable presente en el seno del caos (como en el movimiento circular, por ejemplo). La estrategia OGY sirve para controlar el caos permanente. Y ellos mismos han encontrado que a veces es deseable el caos, porque teniendo caos uno puede elegir, al controlar, el tipo de órbita periódica deseada.
El método de control del caos OGY es basado en pequeñas perturbaciones dependientes del tiempo, de modo que la órbita se estabilice en una de las órbitas periódicas inestables que existen en un atractor caótico. La perturbación pequeña significa que los parámetros, apenas variados, corresponden al pleno caos que se va a controlar.
Una de las más sencillas fórmulas de recurrencia que presentan caos: El mapa Logístico siguiente:
La clave del método para este caso consiste en estabilizar la órbita (los Xn) en alguna de las infinitas órbitas inestables que hay dentro del atractor caótico.
EL método OGY ha dado origen a muchas variantes que se mencionan en las referencias en A pulsed control method for chaotic systems.
Entre los trabajos realizados en el que se describa o use control de caos están los siguientes:
Supresión de caos en un manipulador planar subactuado. Aquí se considera e problema de estabilizar las órbitas periódicas inestables dentro del conjunto invariante caótico del sistema. Diseñan un esquema de control introduciendo retardos en la trayectoria de retroalimentación.
Análisis numérico de caos espacio-temporal en sistemas extendidos... . En la dinámica oscilatoria en un sistema electroquímico obtienen que no solamente la dinámica caótica puede ser convertida a estados periódicos, sino que los estados periódicos pueden ser convertidos a una dinámica de mayor periodicidad. Aplican una técnica continua de retroalimentación retardada.
Supresión de la alternancia cardiaca por medio de una técnica algorítmica de retroalimentación. Describen la técnica de control dinámico basada en retroalimentación lineal de retardo temporal, capaz de suprimir un ritmo patológico de periodo 2. Muestran que la ventaja de esta técnica a diferencia de otros métodos la señal de control tiende a desvanecerse.
Un método de perturbaciones paramétricas para controlar el circuito de Chua. Ahí se reporta la aplicación de una extensión del enfoque OGY para controlar el circuito de Chua.
Aplicaciones de la teoría de caos
Los principios de la Teoría del Caos se han utilizado con éxito para describir y para explicar fenómenos naturales y artificiales diversos. Por ejemplo:
Estos atractores pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar parecida a las alas de una mariposa.Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.
Supresión de caos
Entre los objetivos que se persiguen al tratar de controlar los sistemas tenemos : regulación, seguimiento, acoplamineto y comportamiento asintótico.
En lo que respecta la control del modelo nos interesa:
- Estabilización de equilibrio, de oscilaciones y seguimiento de trayectoria,
- Control lineal, óptimo, geométrico, tipo Lyapunov, adaptable.
- Acoplamiento
- Balanceo
- Control de funcionales. Por ejemplo: sistemas de Chua, Lorentz y Chen
- método de Ott- Grabogi-Yorke
- Control proporcional- ocasional
- Control mediante pasivización
- Método del gradiente
- Control mediante introducción de retardos
Ott, Grebogi y Yorke (Método OGY) son los pioneros en el área del control del caos. Su estrategia es estabilizar el sistema usando pequeñas variaciones al parámetro que gobierna el caos para estabilizar la órbita en un punto fijo (quietud), o en una órbita periódica inestable presente en el seno del caos (como en el movimiento circular, por ejemplo). La estrategia OGY sirve para controlar el caos permanente. Y ellos mismos han encontrado que a veces es deseable el caos, porque teniendo caos uno puede elegir, al controlar, el tipo de órbita periódica deseada.
El método de control del caos OGY es basado en pequeñas perturbaciones dependientes del tiempo, de modo que la órbita se estabilice en una de las órbitas periódicas inestables que existen en un atractor caótico. La perturbación pequeña significa que los parámetros, apenas variados, corresponden al pleno caos que se va a controlar.
Una de las más sencillas fórmulas de recurrencia que presentan caos: El mapa Logístico siguiente:
Xn+1 = r ( Xn - Xn² )
El caos se da a partir de r > 3.569946... excepto para algunas ventanas periódicas. Entonces si tenemos pleno caos, por ejemplo r = 3.78, la idea OGY no es cambiar drásticamente el r hasta la zona periódica; ni siquiera hasta una ventana periódica cercana. La idea es tratar de controlar el caos con variaciones muy pequeñas de r en plena zona caótica.La clave del método para este caso consiste en estabilizar la órbita (los Xn) en alguna de las infinitas órbitas inestables que hay dentro del atractor caótico.
EL método OGY ha dado origen a muchas variantes que se mencionan en las referencias en A pulsed control method for chaotic systems.
Entre los trabajos realizados en el que se describa o use control de caos están los siguientes:
Supresión de caos en un manipulador planar subactuado. Aquí se considera e problema de estabilizar las órbitas periódicas inestables dentro del conjunto invariante caótico del sistema. Diseñan un esquema de control introduciendo retardos en la trayectoria de retroalimentación.
Análisis numérico de caos espacio-temporal en sistemas extendidos... . En la dinámica oscilatoria en un sistema electroquímico obtienen que no solamente la dinámica caótica puede ser convertida a estados periódicos, sino que los estados periódicos pueden ser convertidos a una dinámica de mayor periodicidad. Aplican una técnica continua de retroalimentación retardada.
Supresión de la alternancia cardiaca por medio de una técnica algorítmica de retroalimentación. Describen la técnica de control dinámico basada en retroalimentación lineal de retardo temporal, capaz de suprimir un ritmo patológico de periodo 2. Muestran que la ventaja de esta técnica a diferencia de otros métodos la señal de control tiende a desvanecerse.
Un método de perturbaciones paramétricas para controlar el circuito de Chua. Ahí se reporta la aplicación de una extensión del enfoque OGY para controlar el circuito de Chua.
Aplicaciones de la teoría de caos
Los principios de la Teoría del Caos se han utilizado con éxito para describir y para explicar fenómenos naturales y artificiales diversos. Por ejemplo:
- Predecir ataques epilépticos.
- Predecir mercados financieros.
- Modelar sistemas de producción.
- Fabricar reportes meteorológicos.
- Crear Fractales. Imágenes originadas en ordenador que aplican principios de la Teoría del Caos. (Véase las figuras en esta página.)
En un panorama donde los negocios operan en un entorno turbulento, complejo e imprevisible, los alcances de la Teoría del Caos pueden ser extremadamente valiosos. Las áreas de aplicación pueden incluir:
- Estrategía de negocio/Estrategía corporativa.
- Toma de decisiones complejas.
- Ciencias sociales.
- Comportamiento organizacional y cambio organizacional. Compare: Modelo causal de Desempeño Organizacional y de la Innovación
- Comportamiento de la bolsa de valores, inversiones.
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